Κυριακή, 6 Δεκεμβρίου 2009

Ελάχιστα τετράγωνα με την χρήση του excel και του Matlab !!

Excel
Αυτό το template που δημιούργησα στο excel απευθύνεται σε οποιονδήποτε έχει ένα σύνολο σημείων και χρειάζεται να βρει την βέλτιστη ευθεία που διέρχεται από αυτά.

Ας δούμε ένα παράδειγμα για να δούμε πως δουλεύει.
Ας πούμε ότι έχουμε ένα τρενάκι το οποίο κάνει ευθύγραμμη ομαλή κίνηση...Δηλαδή, για όσους δεν θυμούνται από το γυμνάσιο, κινείται σε μια ευθεία με σταθερή ταχύτητα.

Τότε η ταχύτητα του υπολογίζεται από τον τύπο  u=x/t    όπου x είναι η μετατόπιση του τρένου και t είναι ο χρόνος που χρειάστηκε για να κάνει αυτήν τη μετατόπιση. Αν λύσουμε ως προς x παίρνουμε την εξίσωση
x=u*t
Αυτό όμως φίλοι μου είναι στην θεωρία η οποία προκύπτει από τους νόμους του Νεύτωνα.... Πρέπει και να το επαληθεύσουμε.
Κάνουμε λοιπόν πείραμα 
Βάζουμε το τρενάκι να διανύσει μια απόσταση 1m και μετράμε ότι χρειάστηκε χρόνο 5,82s
Αντίστοιχα για 2m χρειάστηκε 11,2s
                        3m -> 17,8s
                        4m -> 23s
                        5m -> 29,5s

Πάμε τώρα στο excel και βάζουμε στην στήλη των x του χρόνους που μετρήσαμε και στην στήλη των y τις αντίστοιχες αποστάσεις. Άρα θα πάρουμε μια ευθεία ο συντελεστής διεύθυνσης της οποίας θα είναι η ταχύτητα.
Στην συγκεκριμένη περίπτωση  θα πάρουμε την ευθεία y=ax + b όπου   a=0,16883  και  b=0,051841  και τα αντίστοιχα σφάλματα αυτών των τιμών.

Αν όντως η σχέση είναι γραμμική (δηλαδή τα σημεία μας ακολουθούν μια ευθεία και όχι μια παραβολή ας πούμε) αποδείξαμε τον νόμο που εξετάζαμε...
Αυτό φυσικά ηταν ένα πολύ απλό παράδειγμα με εφαρμογή σε κάποιο πείραμα.
Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων όπως ονομάζεται είναι χρήσιμη σε πάρα πολλές εφαρμογές.

Πιστεύω ότι θα βοηθήσει πάρα πολύ τους φοιτητές πολυτεχνικών σχολών και σχολών θετικών επιστημών.

Το αρχειάκι υποστηρίζει μέχρι 100 σημεία και θα το βρείτε εδώ 


Matlab
Για το Matlab θα κάνουμε αναλυτικό οδηγό σύντομα...
Όσοι το ξέρουν ήδη μπορούν να κατεβάσουν το m-file από εδώ.
Πατάτε στο command window το όνομα του αρχείου και θα σας πει "give x"
δώστε τα x στην μορφή    [σημείο 1,σημείο 2, κλπ] και πατήστε enter.
Μετα θα ζητήσει τα y τα οποία θα δώσετε με την ίδια μορφή και αυτόματα θα πάρετε την ευθεία μαζί με τα σφάλματά της και μία γραφική παράσταση.

5 σχόλια:

anagogistis είπε...

Πολύ χρήσιμο!
Ευχαριστούμε

Herculis είπε...

εξαιρετικα χρησιμο!
ευχαριστουμε!

Ανώνυμος είπε...

Απλά σας ΛΑΤΡΕΥΩ!! το πιο κατάλληλο αρχείο την καλύτερη στιγμή!!!

Dolphin είπε...

Καλημέρα σας,
Όταν δίνω το χρήσιμο και y μου λέει ότι υπάρχει πρόβλημα στο a.
Το προσπαθώ με έκδοση r2015a. Τι κάνω λάθος?
Σας ευχαριστώ

Dolphin είπε...

Καλημέρα σας,
Όταν δίνω το χρήσιμο και y μου λέει ότι υπάρχει πρόβλημα στο a.
Το προσπαθώ με έκδοση r2015a. Τι κάνω λάθος?
Σας ευχαριστώ

Δημοσίευση σχολίου