Σχετικιστική σχέση ενέργειας – ορμής

Παλιότερα είχα γράψει ένα αρθράκι που δίνει μια ιδέα για τη σχέση ισοδυναμίας ενέργειας – μάζας του Einstein και τον πιο γενικό τύπο που δεν είναι τόσο γνωστός στους μη φυσικούς. Είπα να το αναρτήσω στο καινούργιο μας blog ελπίζοντας πως αυτά που έγραψα είναι σωστά...

Σχετικιστική σχέση ενέργειας – ορμής

Ο διάσημος τύπος του Einstein E=mc ², ο οποίος μας λέει ότι κατά κάποιο τρόπο η μάζα και η ενέργεια είναι το ίδιο πράγμα, είναι μια ειδική περίπτωση της σχετικιστικής σχέσης ενέργειας – ορμής:

$E^2=m^2 c^4+p^2 c^2 \hspace{0.3cm} (1)$

Ο τύπος αυτός προκύπτει από την απαλοιφή της ταχύτητας u μεταξύ των σχέσεων που δίνουν τη σχετικιστική ενέργεια και ορμή:

$E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-(u/c)^2}}\hspace{0.1cm}, \hspace{0.3cm}p=\frac{mu}{\sqrt{1-(u/c)^2}}$

Με λίγα λόγια, η σχέση (1) μας δίνει τη συνολική ενέργεια ενός σωματιδίου με μάζα ηρεμίας m και (σχετικιστική) ορμή p. Αν p=0 (ακίνητο σωματίδιο) η ενέργεια του είναι E=mc ² (ενέργεια ηρεμίας). Πιο γενικά, αν ο όρος με το p της σχέσης (1) είναι πολύ μικρότερος από τον όρο με την m τότε μπορούμε να χρησιμοποιούμε τη σχέση E=mc ² ως μια προσέγγιση.
Γνωρίζουμε από τη Νευτώνεια μηχανική ότι η κλασική σχέση ενέργειας - ορμής είναι:

$E=\frac{p^2}{2m}$

και μας δίνει την ενέργεια ενός σωματιδίου. Αν αυτό είναι ακίνητο τότε έχει ενέργεια μηδέν, διαφορετικά έχει κινητική ενέργεια. Όπως βλέπουμε, στην κλασική και μη σχετικιστική σχέση αυτή δεν περιλαμβάνεται πουθενά ο όρος της ενέργειας ηρεμίας. Αυτό συμβαίνει γιατί συνήθως είναι αδύνατον να μετατρέψουμε την ενέργεια ηρεμίας, η οποία είναι “αποθηκευμένη” στο σωματίδιο, σε χρήσιμη ενέργεια που να παράγει έργο (η μάζα του σωματιδίου παραμένει σταθερή) και έτσι παραλείπουμε τον όρο αυτό. Επιπλέον πρέπει να σημειώσουμε ότι αυτή η κλασική σχέση της ενέργειας είναι μια προσέγγιση γιατί δεν περιλαμβάνει τους διορθωτικούς όρους που προβλέπει η σχετικότητα και τους οποίους δεν μπορούμε να αμελήσουμε για μεγάλες ταχύτητες (αρκετά κοντά στην ταχύτητα του φωτός).

Ας δούμε λοιπόν πως προκύπτει ο προσεγγιστικός τύπος E=p ²/2m για μη σχετικιστικά σωματίδια. Καταρχάς θα γράψουμε τη σχέση (1) σε διαφορετική μορφή, θα την αναπτύξουμε σε σειρά Maclaurin. Στην περίπτωση μας το p ² είναι πάντα μικρότερο από το m ² c ² διότι το u είναι πάντα μικρότερο του c (u< c). Επομένως:

$\begin{aligned}E&=mc^2\sqrt{1+\frac{p^2}{m^2 c^2}}=mc^2\left[1+\frac{1}{2}\frac{p^2}{m^2 c^2}-\frac{1}{8}\left(\frac{p^2}{m^2 c^2}\right)^2+\cdot\cdot\cdot\right]\\&=mc^2+\frac{p^2}{2m}-\frac{mc^2}{8}\left(\frac{p^2}{m^2 c^2}\right)^2+\cdot\cdot\cdot\end{aligned}$

Για τα μη σχετικιστικά σωματίδια (u<< c) τους όρους που περιέχουν τις δυνάμεις του p ²/(m ² c ²) μπορούμε να τους παραλείψουμε. Επομένως η σχέση που δίνει την ενέργεια τους είναι:

$E\approx mc^2+\frac{p^2}{2m}$

Ανακεφαλαιώνοντας να πούμε ότι η ενέργεια, η μάζα και η ορμή είναι το ίδιο πράγμα αλλά σε διαφορετική μορφή (για την ακρίβεια είναι ισοδύναμα μεταξύ τους). Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι η μάζα είναι η ενέργεια που είναι “αποθηκευμένη” στο σωματίδιο (και μπορεί να απελευθερωθεί πχ. με εξαΰλωση με αντισωματίδιο) ενώ η ορμή είναι η ενέργεια που κινεί το σωματίδιο.